Задача №09684

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM\perp AC$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM$$

Подставим известные значения площади $S=18\sqrt{2}$ и медианы $BM=3\text{:}$

$$18\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 3$$ $$36\sqrt{2}=3\cdot AC\Rightarrow AC=12\sqrt{2}$$

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC\text{.}$ Отсюда:

$$AM=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ABM\text{:}$

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$$ $$A{B}^2=(6\sqrt{2}{)}^2+3^2$$ $$A{B}^2=72+9=81$$ $$AB=\sqrt{81}=9$$

Ответ: 9