Задача №09682

В ромбе сумма двух соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ По условию сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{,}$ что меньше $180^{\circ }\text{,}$ поэтому это два равных (противоположных) угла. Значит каждый из них равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Тогда углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$ Меньшая диагональ лежит против меньшего угла $60^{\circ }\text{.}$ Она делит ромб на два треугольника; рассмотрим треугольник при остром угле $60^{\circ }\text{.}$ Две его стороны — это стороны ромба, поэтому они равны, и треугольник равнобедренный с углом $60^{\circ }$ между ними. Значит этот треугольник равносторонний, и его третья сторона (меньшая диагональ) равна стороне ромба:

$$a=21.$$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 21=84.$$

Ответ: 84.