Задача №09677

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором $BD$ — меньшая диагональ, равная 27.

У ромба противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ эти углы не могут быть прилежащими к одной стороне. Значит, это противоположные острые углы ромба. Таким образом, острый угол ромба равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

Пусть $\angle A=60^{\circ }\text{.}$ Поскольку все стороны ромба равны ($AB=AD$), треугольник $ABD$ является равнобедренным с углом $60^{\circ }$ при вершине $A\text{.}$ Следовательно, этот треугольник равносторонний, и все его стороны равны длине меньшей диагонали:

$$AB=AD=BD=27$$

Периметр ромба равен сумме длин четырех его сторон:

$$P=4\cdot AB=4\cdot 27=108$$

Ответ: 108