Задача №09671

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=72$ и $AD=126\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE\text{.}$ Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $B$ равен $90^{\circ }\text{.}$ По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

2. Так как углы при основании $AE$ равны, треугольник $ABE$ является равнобедренным, откуда $BE=AB=72\text{.}$

3. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $BC=AD=126\text{.}$ Найдём длину отрезка $EC\text{:}$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ с прямым углом $C\text{.}$ Катет $CD$ равен стороне $AB\text{,}$ то есть $CD=72\text{.}$ По теореме Пифагора найдём гипотенузу $ED\text{:}$

Вынесем общий множитель из-под корня для упрощения вычислений. Заметим, что $54=18\cdot 3\text{,}$ а $72=18\cdot 4\text{:}$

Ответ: 90.