Задача №09667

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 15 и 33. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Прямоугольник разбит одним вертикальным и одним горизонтальным разрезами на четыре меньших прямоугольника: верхняя строка — $S_1$ (слева) и $S_2$ (справа), нижняя строка — $S_4$ (слева) и $S_3$ (справа). По условию, начиная с левого верхнего по часовой стрелке: $S_1=5\text{,}$ $S_2=15\text{,}$ $S_3=33\text{,}$ а искомая площадь — левый нижний прямоугольник $S_4\text{.}$

Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b\text{,}$ а высоты верхней и нижней строк — $h_1$ и $h_2\text{.}$ Тогда:

Отношение площадей в верхней строке даёт отношение ширин столбцов:

Такое же отношение ширин выполняется и в нижней строке (высота $h_2$ общая для обоих нижних прямоугольников):

Следовательно:

Ответ: 11