В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 50. Найдите длину биссектрисы BK.

Внешний угол при вершине A равен 150^, значит внутренний угол A = 180^ - 150^ = 30^. Аналогично C = 180^ - 150^ = 30^. Тогда B = 180^ - A - C = 180^ - 30^ - 30^ = 120^, а треугольник ABC равнобедренный с основанием AC (так как A = C), поэтому AB = BC. В равнобедренном треугольнике биссектриса BK, проведённая из вершины B к основанию, является также высотой, поэтому BK AC и BKA = 90^. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK: в нём BKA = 90^, A = 30^, гипотенуза AB = 50. Катет BK, лежащий против угла A, равен: BK = AB * sin A = 50 * sin 30^ = 50 * (1)/(2) = 25. Ответ: 25.

25