Задача №09666

Внешний угол при вершине $A$ равен $150^{\circ }\text{,}$ значит внутренний угол $\angle A=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$ Аналогично $\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$

Тогда $\angle B=180^{\circ }-\angle A-\angle C=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }\text{,}$ а треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ (так как $\angle A=\angle C$), поэтому $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведённая из вершины $B$ к основанию, является также высотой, поэтому $BK\perp AC$ и $\angle BKA=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK\text{:}$ в нём $\angle BKA=90^{\circ }\text{,}$ $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ гипотенуза $AB=50\text{.}$ Катет $BK\text{,}$ лежащий против угла $A\text{,}$ равен:

$$BK=AB\cdot \sin \angle A=50\cdot \sin 30^{\circ }=50\cdot \frac{1}{2}=25.$$

Ответ: 25.