Задача №09657

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 11. Найдите длину стороны $AB\text{.}$

По условию задачи, отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$ и делит угол $B$ пополам, то есть также является биссектрисой угла $B\text{.}$

Поскольку в треугольнике биссектриса и медиана совпадают, этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $M\text{.}$

Так как $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ имеем:

$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ найдём угол $A\text{:}$

$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

Катет $BM$ лежит против угла $A=30^{\circ }\text{,}$ поэтому он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM=2\cdot 11=22$

Ответ: 22.