Задача №09657 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 11. Найдите длину стороны AB.

По условию задачи, отрезок BM является медианой треугольника ABC и делит угол B пополам, то есть также является биссектрисой угла B. Поскольку в треугольнике биссектриса и медиана совпадают, этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами AB = BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, BM AC, и треугольник ABM является прямоугольным с прямым углом M. Так как BM — биссектриса угла B, имеем: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^ В прямоугольном треугольнике ABM найдём угол A: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^ Катет BM лежит против угла A = 30^, поэтому он равен половине гипотенузы AB: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM = 2 * 11 = 22 Ответ: 22.

22