Задача №09653

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому

$$AO=OC=\frac{AC}{2}.$$

По условию $AC=2AB\text{,}$ значит $\frac{AC}{2}=AB\text{,}$ и тогда $AO=AB\text{.}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB\parallel CD\text{.}$ Диагональ $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

$$\angle BAC=\angle ACD=5^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $ABO\text{.}$ В нём $AB=AO\text{,}$ значит треугольник равнобедренный с основанием $BO\text{,}$ и углы при основании равны: $\angle ABO=\angle AOB\text{.}$

Угол $\angle BAO=\angle BAC=5^{\circ }\text{.}$ Сумма углов треугольника $ABO$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$5^{\circ }+2\angle AOB=180^{\circ }\Rightarrow \angle AOB=\frac{175^{\circ }}{2}=87,5^{\circ }.$$

Угол между диагоналями — это острый угол при их пересечении, то есть $\angle AOB=87,5^{\circ }\text{.}$

Ответ: 87,5