Задача №09645

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=72$ и $AD=93\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$ Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит, $\angle ABE=90^{\circ }\text{.}$

2. В треугольнике $ABE\text{:}$ $\angle EAB=45^{\circ }$ (по условию), $\angle ABE=90^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle AEB=180^{\circ }-45^{\circ }-90^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

3. Треугольник $ABE$ равнобедренный с основанием $AE\text{,}$ поэтому $AB=BE\text{.}$ По условию $AB=72\text{,}$ значит $BE=72\text{.}$

4. В прямоугольнике противоположные стороны равны: $BC=AD=93\text{.}$ Так как $E$ лежит на $BC\text{,}$ то $EC=BC-BE=93-72=21\text{.}$

5. В прямоугольнике угол $BCD$ прямой, поэтому в треугольнике $ECD$ угол $ECD=90^{\circ }\text{.}$ Сторона $CD=AB=72\text{.}$

6. По теореме Пифагора в треугольнике $ECD\text{:}$

Ответ: 75