Задача №09644

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^{\circ }\text{.}$ Катет $BC=31\text{.}$ Найдите гипотенузу $AB\text{.}$

Внешний угол при вершине $A$ и внутренний угол $BAC$ прямоугольного треугольника $ABC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$

Найдем внутренний угол $BAC\text{:}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ катет $BC$ лежит против угла в $30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, длина катета, лежащего против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равна половине длины гипотенузы:

Отсюда выразим и найдем гипотенузу $AB\text{:}$

Ответ: $62\text{.}$