Задача №09637

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты.

Угол $B$ прилежит к катету $BC\text{,}$ поэтому:

$$\cos B=\frac{BC}{AB}.$$

Тогда:

$$BC=AB\cdot \cos B=34\cdot \frac{15}{17}=30.$$

Найдём синус угла $B$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

Катет $AC$ противолежит углу $B\text{:}$

$$AC=AB\cdot \sin B=34\cdot \frac{8}{17}=16.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 30=240.$$

Ответ: 240.