Задача №09635 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 24, внешний угол при вершине C равен 150^. Найдите длину медианы BK.

Найдем внутренний угол при вершине C. Так как внешний угол при вершине C равен 150^, то смежный с ним внутренний угол BCA равен: BCA = 180^ - 150^ = 30^. Треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, поскольку по условию AB = BC = 24. В равнобедренном треугольнике медиана BK, проведенная к основанию, также является его высотой. Следовательно, треугольник BKC — прямоугольный ( BKC = 90^). В прямоугольном треугольнике BKC катет BK лежит против угла BCK = 30^. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы BC: BK = (1)/(2) * BC = (1)/(2) * 24 = 12. Ответ: 12

12