Задача №09632

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos B=\frac{BC}{AB}$$

Отсюда найдём катет $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \cos B=50\cdot 0,96=48$$

Используя основное тригонометрическое тождество, найдём синус угла $B\text{:}$

$$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-0,96^2}=\sqrt{1-0,9216}=\sqrt{0,0784}=0,28$$

Катет $AC$ равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла $B\text{:}$

$$AC=AB\cdot \sin B=50\cdot 0,28=14$$

Длину катета $AC$ также можно было найти по теореме Пифагора:

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{50^2-48^2}=\sqrt{2\cdot 98}=\sqrt{196}=14$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 48=7\cdot 48=336.$$

Ответ: 336