Задача №09628

Внутренний угол $C$ треугольника $ABC$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Следовательно:

$$\angle C=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для нахождения стороны $AB\text{:}$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C.$$

Подставим известные значения сторон $BC=3\sqrt{19}\text{,}$ $AC=5\sqrt{19}$ и угла $\angle C=60^{\circ }\text{:}$

$$A{B}^2=(5\sqrt{19}{)}^2+(3\sqrt{19}{)}^2-2\cdot 5\sqrt{19}\cdot 3\sqrt{19}\cdot \cos 60^{\circ }.$$ $$A{B}^2=25\cdot 19+9\cdot 19-2\cdot 15\cdot 19\cdot \frac{1}{2}.$$

Вынесем общий множитель $19$ за скобки:

$$A{B}^2=19\cdot (25+9-15)=19\cdot 19=19^2.$$

Отсюда находим длину стороны $AB\text{:}$

$$AB=19.$$