Задача №09627

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC\parallel AD$ и $BC=AD\text{.}$

Точка $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ поэтому $BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{.}$ Прямые $BM$ и $AD$ параллельны, поэтому $\angle MBK=\angle ADK$ и $\angle BMK=\angle DAK$ как накрест лежащие при секущих $BD$ и $AM\text{.}$ Значит, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны.

Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

$$\frac{BK}{KD}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}.$$

Тогда отрезок $BD$ делится точкой $K$ в отношении $1:2\text{,}$ считая от $B\text{,}$ то есть

$$BK=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}\cdot 18=6.$$

Ответ: 6.