В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно так, что BM : AB = 1 : 2, а BK : BC = 5 : 7. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK?

Задача №09623: Планиметрия

Площадь треугольника $A B C$ выражается формулой:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin ∠ B

Аналогично, площадь треугольника $M B K,$ имеющего общий угол $B$ с треугольником $A B C,$ равна:

S_{M B K} = \frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin ∠ B

Найдем отношение площади треугольника $A B C$ к площади треугольника $M B K .$ Сокращая общий множитель $\frac{1}{2} sin ∠ B,$ получаем:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = \frac{A B}{B M} \cdot \frac{B C}{B K}

Из условия задачи известно, что:

\frac{B M}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A B}{B M} = 2

\frac{B K}{B C} = \frac{5}{7} \Rightarrow \frac{B C}{B K} = \frac{7}{5}

Подставим эти значения в отношение площадей:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5} = 2, 8

Таким образом, площадь треугольника $A B C$ больше площади треугольника $M B K$ в $2, 8$ раза.