Задача №09613 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 21. Найдите длину стороны AB.

Так как по условию медиана BM делит угол B пополам, то она также является биссектрисой угла B. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием AC, то есть AB = BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, BM AC, и треугольник ABM — прямоугольный ( AMB = 90^). Поскольку BM — биссектриса угла B, имеем: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^. В прямоугольном треугольнике ABM найдем угол BAM: BAM = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы. Катет BM лежит против угла BAM = 30^, следовательно: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM = 2 * 21 = 42. Ответ: 42

42