Задача №09613

Так как по условию медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то она также является биссектрисой угла $B\text{.}$

Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ то есть $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ имеем:

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ найдем угол $BAM\text{:}$

$$\angle BAM=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит против угла $\angle BAM=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM=2\cdot 21=42.$$

Ответ: 42