В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 75, sin A = (24)/(25). Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №09610: Планиметрия

В равнобедренном треугольнике $A B C$ боковые стороны равны: $A B = B C = 75,$ а углы при основании равны: $∠ A = ∠ C .$

По основному тригонометрическому тождеству найдём косинус угла $A$ (угол острый, так как при основании равнобедренного треугольника углы острые):

cos A = 1 - sin^{2} A = 1 - (\frac{24}{25})^{2} = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} = \frac{7}{25} .

Опустим высоту $B H$ на основание $A C .$ В прямоугольном треугольнике $A B H :$

A H = A B \cdot cos A = 75 \cdot \frac{7}{25} = 21.

Высота делит основание пополам, поэтому:

A C = 2 \cdot A H = 2 \cdot 21 = 42.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними (стороны $A B,$ $A C$ и угол $A$ между ними):

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 75 \cdot 42 \cdot \frac{24}{25} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 42 \cdot 24 = 1512.

Ответ: 1512.