Задача №09606

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 30. Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, поэтому она одновременно является биссектрисой и медианой треугольника. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с медианой, то треугольник равнобедренный: $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является и высотой, поэтому $BM\perp AC$ и $\angle BMA=90^{\circ }\text{.}$

Медиана делит угол $B=120^{\circ }$ пополам, значит

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём $BM$ — катет, прилежащий к углу $ABM\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

Ответ: 60.