Задача №09604

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=9\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. По условию $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Значит, все его стороны равны: $AB=BC=CD=AD=9\text{.}$

2. Противоположные углы ромба равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ Так как их сумма равна $120^{\circ }\text{,}$ получаем:
$\angle A=\angle C=120^{\circ }:2=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB=AD=9\text{,}$ так как $ABCD$ — ромб. Следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный.

4. Поскольку в равнобедренном треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{,}$ то углы при основании $BD$ также равны по $60^{\circ }\text{:}$
$(180^{\circ }-60^{\circ }):2=60^{\circ }\text{.}$

Значит, треугольник $ABD$ — равносторонний.

5. В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, $BD=AB=AD=9\text{.}$

Ответ: 9