Задача №09600

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ медиана $BM$ равна 5. Площадь треугольника $ABC$ равна $10\sqrt{6}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой, поэтому $BM\perp AC$ и $BM=5$ — высота треугольника к стороне $AC\text{.}$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

Подставим известные значения:

Отсюда:

Точка $M$ — середина $AC\text{,}$ значит:

Треугольник $ABM$ прямоугольный (угол при $M$ прямой). По теореме Пифагора:

Следовательно:

Ответ: 7.