Задача №09598

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB=61\text{,}$ $AC=22\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, все его стороны равны: $AB=BC=CD=DA=61\text{.}$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда:

$AO=\frac{AC}{2}=\frac{22}{2}=11\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Так как $O$ — середина $BD\text{,}$ то:

$BD=2\cdot BO=2\cdot 60=120\text{.}$

Ответ: 120