Задача №09597

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB=BC=8\text{,}$ медиана $BM=\sqrt{55}\text{.}$ Найдите $\cos \angle BAC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ одновременно является высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ гипотенуза $AB=8\text{,}$ катет $BM=\sqrt{55}\text{.}$ По теореме Пифагора найдём второй катет $AM\text{:}$

Тогда косинус угла $BAC$ (угол при вершине $A$ в прямоугольном треугольнике $ABM$) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

Ответ: 0,375