Задача №09593

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенуза равна $AB=2\sqrt{13}\text{.}$ Катет $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому

$$BC=AB\cdot \sin A=2\sqrt{13}\cdot \frac{2}{\sqrt{13}}=4.$$

Найдём косинус угла $A\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

Тогда катет $AC\text{,}$ прилежащий к углу $A\text{:}$

$$AC=AB\cdot \cos A=2\sqrt{13}\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=6.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12.$$

Ответ: 12.