Задача №09592

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями $BC=52$ (меньшее) и $AD=88$ (большее), боковая сторона равна $30\text{.}$ Найдём диагональ $BD\text{.}$

Опустим из вершины $B$ меньшего основания высоту $BH$ на большее основание $AD\text{.}$ В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому:

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{88-52}{2}=18.$$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту:

$$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24.$$

Теперь рассмотрим диагональ $BD\text{.}$ Её проекция на большее основание равна:

$$HD=AD-AH=88-18=70.$$

Из прямоугольного треугольника $BHD\text{:}$

$$BD=\sqrt{B{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{24^2+70^2}=\sqrt{576+4900}=\sqrt{5476}=74.$$

Ответ: 74