Задача №09591

Внутренний угол $C$ (угол $ACB$) и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Отсюда находим градусную меру угла $ACB\text{:}$

$$\angle ACB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Для нахождения стороны $AB$ применим теорему косинусов для треугольника $ABC\text{:}$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (\angle ACB)$$

Подставим известные значения сторон и косинуса угла:

$$A{B}^2=(3\sqrt{7}{)}^2+(\sqrt{7}{)}^2-2\cdot 3\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}\cdot \cos (60^{\circ })$$ $$A{B}^2=9\cdot 7+7-2\cdot 3\cdot 7\cdot \frac{1}{2}$$ $$A{B}^2=63+7-21$$ $$A{B}^2=49$$

Так как длина стороны треугольника должна быть положительной, получаем:

$$AB=\sqrt{49}=7.$$