Задача №09588

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{1}{2}AC$$

По условию задачи, $AC=2AB\text{,}$ откуда следует, что $OC=AB\text{.}$

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $CD=AB\text{.}$

Таким образом, $OC=CD\text{,}$ и треугольник $OCD$ является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle COD=\angle CDO$$

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ луч $CO$ совпадает с лучом $CA\text{.}$ Следовательно, угол $\angle OCD$ равен углу $\angle ACD=154^{\circ }\text{.}$

Сумма углов треугольника $OCD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle COD+\angle CDO+\angle OCD=180^{\circ }$$ $$2\angle COD+154^{\circ }=180^{\circ }$$ $$2\angle COD=180^{\circ }-154^{\circ }=26^{\circ }$$ $$\angle COD=13^{\circ }$$

Угол между диагоналями — это острый (или прямой) угол, образованный при их пересечении. Поскольку найденный угол $\angle COD=13^{\circ }$ является острым, он и есть искомый угол между диагоналями.

Ответ: $13^{\circ }\text{.}$