Задача №09584

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$

Найдем внутренний угол $A\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ найдем угол $B\text{:}$

$$\angle ABC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит против угла $B=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$AC=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot AC$$

Подставим известное значение $AC=23\text{:}$

$$AB=2\cdot 23=46$$

Ответ: 46