На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 27. Найдите диаметр окружности.

Точки A, O, B лежат на одной прямой (AB — диаметр), поэтому углы AOC и COB — смежные: AOC = 180^ - COB = 180^ - 120^ = 60^. Центральный угол AOC и вписанный угол ABC опираются на одну и ту же дугу AC. Вписанный угол равен половине центрального: ABC = ( AOC)/(2) = (60^)/(2) = 30^. Угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: ACB = 90^. В прямоугольном треугольнике ACB катет AC лежит против угла ABC = 30^, а гипотенуза — это диаметр AB. Тогда: AC = AB * sin 30^ = AB * (1)/(2). Отсюда: AB = 2 * AC = 2 * 27 = 54. Ответ: 54.

54