На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 27. Найдите диаметр окружности.

Задача №09583: Планиметрия

Точки $A,$ $O,$ $B$ лежат на одной прямой ( $A B$ — диаметр), поэтому углы $A O C$ и $C O B$ — смежные:

∠ A O C = 18 0^{\circ} - ∠ C O B = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} .

Центральный угол $A O C$ и вписанный угол $A B C$ опираются на одну и ту же дугу $A C .$ Вписанный угол равен половине центрального:

∠ A B C = \frac{∠ A O C}{2} = \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ} .

Угол $A C B$ опирается на диаметр $A B,$ поэтому он прямой:

∠ A C B = 9 0^{\circ} .

В прямоугольном треугольнике $A C B$ катет $A C$ лежит против угла $A B C = 3 0^{\circ},$ а гипотенуза — это диаметр $A B .$ Тогда:

A C = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = A B \cdot \frac{1}{2} .

Отсюда:

A B = 2 \cdot A C = 2 \cdot 27 = 54.

Ответ: 54.