Задача №09580

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=55\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны, следовательно, этот параллелограмм является ромбом.

У ромба противоположные углы равны, значит, $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ тогда:

Так как $ABCD$ — ромб, то его стороны равны: $AB=AD=55\text{.}$ Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём $AB=AD\text{,}$ следовательно, треугольник равнобедренный. Поскольку угол при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ то углы при основании $BD$ также равны:

Таким образом, все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ значит, треугольник $ABD$ — равносторонний. Отсюда получаем:

Ответ: 55