Задача №09568

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ проведена к стороне $AC$ (точка $M$ — середина $AC$) и одновременно является биссектрисой угла $B\text{.}$ Если в треугольнике медиана, проведённая из вершины, совпадает с биссектрисой угла при этой вершине, то треугольник равнобедренный с $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также высотой, поэтому $BM\perp AC\text{,}$ то есть угол $BMA$ прямой.

Биссектриса $BM$ делит угол $B=120^{\circ }$ пополам, значит:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём катет $BM=27$ прилежит к углу $\angle ABM=60^{\circ }\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos (\angle ABM)=\frac{BM}{AB},\cos 60^{\circ }=\frac{27}{AB}.$$

Отсюда:

$$AB=\frac{27}{\cos 60^{\circ }}=\frac{27}{0,5}=54.$$

Ответ: 54.