В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 27. Найдите длину стороны AB.

В треугольнике ABC медиана BM проведена к стороне AC (точка M — середина AC) и одновременно является биссектрисой угла B. Если в треугольнике медиана, проведённая из вершины, совпадает с биссектрисой угла при этой вершине, то треугольник равнобедренный с AB = BC. В равнобедренном треугольнике медиана BM, проведённая к основанию AC, является также высотой, поэтому BM AC, то есть угол BMA прямой. Биссектриса BM делит угол B = 120^ пополам, значит: ABM = (120^)/(2) = 60^. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM с прямым углом при вершине M. В нём катет BM = 27 прилежит к углу ABM = 60^, а AB — гипотенуза. Тогда: cos( ABM) = (BM)/(AB), cos 60^ = (27)/(AB). Отсюда: AB = (27)/(cos 60^) = (27)/(0,5) = 54. Ответ: 54.

54