Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92 , боковая сторона равна 39 . Найдите длину диагонали трапеции.

Задача №09567: Планиметрия

Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 62$ и $A D = 92$ и боковой стороной $A B = C D = 39 .$ Найдём длину диагонали $B D .$

1. Проведём высоту $B H$ из вершины $B$ к основанию $A D .$ Так как трапеция равнобедренная, отрезок $A H$ равен полуразности оснований:

A H = \frac{A D - B C}{2} = \frac{92 - 62}{2} = \frac{30}{2} = 15

2. Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора найдём высоту $B H :$

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 3 9^{2} - 1 5^{2}

B H^{2} = (39 - 15) (39 + 15) = 24 \cdot 54 = 1296

B H = 1296 = 36

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B H D .$ Катет $H D$ равен:

H D = A D - A H = 92 - 15 = 77

4. По теореме Пифагора для треугольника $B H D$ найдём диагональ $B D :$

B D^{2} = B H^{2} + H D^{2} = 3 6^{2} + 7 7^{2}

B D^{2} = 1296 + 5929 = 7225

B D = 7225 = 85

Ответ: 85.