Задача №09566

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

По условию один из катетов равен 40. Пусть $a=40\text{.}$

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. В прямоугольном треугольнике длины средних линий равны:

• параллельная катету $a\text{:}$ $\frac{a}{2}=\frac{40}{2}=20\text{;}$
• параллельная катету $b\text{:}$ $\frac{b}{2}\text{;}$
• параллельная гипотенузе $c\text{:}$ $\frac{c}{2}\text{.}$

Поскольку заданная средняя линия равна 4,5, она не может быть параллельна катету $a$ (так как $20\ne 4,5$). Она также не может быть параллельна гипотенузе $c\text{,}$ поскольку гипотенуза длиннее любого из катетов ($c>40$), а значит, средняя линия, параллельная гипотенузе, должна быть больше $20\text{.}$

Следовательно, данная средняя линия параллельна катету $b\text{:}$

$$\frac{b}{2}=4,5\Rightarrow b=9.$$

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41.$$

Ответ: 41.