Задача №09549

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Катет $AC=18\text{.}$ Найдите длину гипотенузы $AB\text{.}$

1. Внешний угол при вершине $A$ равен $120^{\circ }\text{,}$ поэтому внутренний угол $A$ равен $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу. По условию требуется найти гипотенузу $AB\text{,}$ значит, прямой угол находится при вершине $C\text{.}$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C\text{.}$ Катет $AC$ прилежит к углу $A\text{.}$

4. Косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

5. Подставим известные значения $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ и $AC=18\text{:}$

6. Решим уравнение относительно $AB\text{:}$

Ответ: 36