Задача №09547

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ медиана $BM$ равна 5. Площадь треугольника $ABC$ равна $10\sqrt{6}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой, поэтому $BM\perp AC\text{.}$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM$

Подставим известные значения площади и длины медианы:

$10\sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 5$

$10\sqrt{6}=2,5\cdot AC$

$AC=\frac{10\sqrt{6}}{2,5}=4\sqrt{6}$

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:

$AM=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $M$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$

$A{B}^2=(2\sqrt{6}{)}^2+5^2$

$A{B}^2=24+25=49$

$AB=7$

Ответ: $7\text{.}$