Задача №09544

В треугольнике каждая из двух сторон равна $5\text{,}$ а третья сторона равна $8\text{.}$ Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.

В треугольнике две стороны равны $5\text{,}$ третья сторона равна $8\text{,}$ значит, треугольник равнобедренный с основанием $8\text{.}$

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB=AC=5\text{,}$ $BC=8\text{.}$ Медиана $AM$ проведена к стороне $BC\text{,}$ поэтому $M$ — середина $BC\text{,}$ и $BM=MC=4\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому $AM\perp BC\text{.}$ Тогда треугольник $ABM$ прямоугольный с гипотенузой $AB=5$ и катетом $BM=4\text{.}$

По теореме Пифагора:

Отсюда $AM=\sqrt{9}=3\text{.}$

Ответ: 3.