Задача №09540

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда $AO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{,}$ а угол $AOB$ прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ с прямым углом при вершине $O\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{(3\sqrt{5}{)}^2-6^2}=\sqrt{45-36}=\sqrt{9}=3.$$

В треугольнике $ABO$ угол $BAC$ — это угол при вершине $A\text{.}$ Катет $BO=3$ лежит против этого угла, катет $AO=6$ прилежит к нему. Тогда:

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{3}{6}=0,5.$$

Ответ: 0,5.