Задача №09534

В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, противоположные стороны равны: $BC=AD=17\text{,}$ $CD=AB=5\text{.}$ Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ с прямым углом при вершине $B\text{.}$ По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{,}$ значит этот треугольник равнобедренный, и:

$$BE=AB\cdot \tan 45^{\circ }=5\cdot 1=5.$$

Тогда длина оставшейся части стороны $BC\text{:}$

$$CE=BC-BE=17-5=12.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDE$ с прямым углом при вершине $C\text{,}$ где $CE=12$ и $CD=5\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$ED=\sqrt{C{E}^2+C{D}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: 13.