Задача №09533

По условию $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ следовательно, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{77}{2}=38,5.$$

В треугольнике $BMC$ стороны $BC$ и $BM$ равны ($BC=BM$), значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ то $BH\perp AC\text{,}$ а значит, $BH$ также является высотой равнобедренного треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{38,5}{2}=19,25.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=38,5+19,25=57,75.$$

Ответ: $57,75\text{.}$