Задача №09533 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC сторона AC = 77, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

По условию BM — медиана треугольника ABC, следовательно, точка M делит сторону AC пополам: AM = MC = (AC)/(2) = (77)/(2) = 38,5. В треугольнике BMC стороны BC и BM равны (BC = BM), значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием MC. Поскольку BH — высота треугольника ABC, то BH AC, а значит, BH также является высотой равнобедренного треугольника BMC, проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка H — середина отрезка MC: MH = HC = (MC)/(2) = (38,5)/(2) = 19,25. Длина отрезка AH равна сумме длин отрезков AM и MH: AH = AM + MH = 38,5 + 19,25 = 57,75. Ответ: 57,75.

57,75