Задача №09532

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Если бы данные два угла были соседними, их сумма равнялась бы $180^{\circ }\text{,}$ а не $120^{\circ }\text{.}$ Значит, это два равных (противоположных) угла, и каждый из них равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Таким образом, углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$

Все стороны ромба равны, поэтому из периметра находим сторону:

$$a=\frac{128}{4}=32.$$

Меньшая диагональ лежит против меньшего угла $60^{\circ }\text{.}$ Вместе с двумя сторонами ромба она образует треугольник с двумя равными сторонами по $32$ и углом $60^{\circ }$ между ними. Такой равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^{\circ }$ является равносторонним, поэтому третья сторона (диагональ) равна боковым:

$$d=32.$$

Ответ: 32