Задача №09516

В ромбе все стороны равны, поэтому в треугольнике $ABD$ стороны $AB=AD=3\text{,}$ а основание $BD=3\sqrt{3}\text{.}$ Этот треугольник равнобедренный.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда $O$ — середина $BD\text{,}$ и

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ с прямым углом при вершине $O\text{.}$ В нём гипотенуза $AB=3\text{,}$ а угол $ABD$ (то есть $ABO$) — острый угол при вершине $B\text{.}$ Катет $BO$ прилежит к этому углу, поэтому

$$\cos (\angle ABD)=\frac{BO}{AB}=\frac{3\sqrt{3}/2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит, $\angle ABD=30^{\circ }\text{,}$ и тогда

$$\sin (\angle ABD)=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}=0,5.$$

Ответ: 0,5