Задача №09515

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC\text{:}$

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). Угол $\angle BAH$ совпадает с $\angle BAC\text{,}$ поэтому:

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BH}{AH}=\frac{\sqrt{7}}{3}.$$

Отсюда:

$$BH=AH\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=3\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=\sqrt{7}.$$

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ABH\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{7}{)}^2}=\sqrt{9+7}=\sqrt{16}=4.$$

Ответ: 4