Задача №09510

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, значит $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты.

Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC\text{,}$ а гипотенуза — $AB\text{.}$ Тогда:

$$\cos B=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \cos B=25\cdot 0,28=7.$$

Найдём синус угла $B$ из основного тригонометрического тождества:

$${\sin }^{2}B=1-{\cos }^{2}B=1-0,28^2=1-0,0784=0,9216,$$ $$\sin B=\sqrt{0,9216}=0,96.$$

Противолежащий углу $B$ катет — это $AC\text{:}$

$$\sin B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\cdot \sin B=25\cdot 0,96=24.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 7=84.$$

Ответ: 84.