Задача №09509 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 32. Найдите длину стороны AB.

Так как медиана BM делит угол B пополам, то она является также биссектрисой угла B. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный с основанием AC (то есть AB = BC). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, BM AC, а треугольник ABM — прямоугольный ( AMB = 90^). Так как BM — биссектриса угла B, градусная мера угла ABM равна: ABM = (120^)/(2) = 60^ В прямоугольном треугольнике ABM угол A равен A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^ . В прямоугольном треугольнике против угла в 30^ лежит катет, равный половине гипотенузы: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM = 2 * 32 = 64 Ответ: 64

64