Задача №09509

Так как медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то она является также биссектрисой угла $B\text{.}$

Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный с основанием $AC$ (то есть $AB=BC$).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Так как $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ градусная мера угла $ABM$ равна:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $A$ равен
$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$

В прямоугольном треугольнике против угла в $30^{\circ }$ лежит катет, равный половине гипотенузы:

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM=2\cdot 32=64$$

Ответ: $64$