В треугольнике ABC угол C равен 90^, AB = 4sqrt(5), sin A = (1)/(sqrt(10)). Найдите площадь треугольника.

Задача №09508: Планиметрия

В прямоугольном треугольнике $A B C$ синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $B C$ к гипотенузе $A B :$

sin A = \frac{B C}{A B}

Выразим и найдём длину катета $B C :$

B C = A B \cdot sin A = 45 \cdot \frac{1}{10} = 4 \cdot \frac{5}{10} = \frac{4}{2} = 22

По теореме Пифагора найдём длину второго катета $A C :$

A C = A B^{2} - B C^{2} = (45)^{2} - (22)^{2} = 80 - 8 = 72 = 62

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 62 \cdot 22 = 12

Ответ: 12