Задача №09508 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол C равен 90^, AB = 4sqrt(5), sin A = (1)/(sqrt(10)). Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: sin A = (BC)/(AB) Выразим и найдём длину катета BC: BC = AB * sin A = 4sqrt(5) * (1)/(sqrt(10)) = 4 * sqrt((5)/(10)) = (4)/(sqrt(2)) = 2sqrt(2) По теореме Пифагора найдём длину второго катета AC: AC = sqrt(AB^2 - BC^2) = sqrt((45)^2 - (22)^2) = sqrt(80 - 8) = sqrt(72) = 6sqrt(2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (1)/(2) * AC * BC = (1)/(2) * 6sqrt(2) * 2sqrt(2) = 12 Ответ: 12

12