Задача №09507

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC\text{.}$ Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите $BK\text{,}$ если $BD=21\text{.}$

Рассмотрим параллелограмм $ABCD\text{.}$ По свойствам параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны: $BC\parallel AD$ и $BC=AD\text{.}$

Так как точка $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ то:
$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{.}$ В них:
1. $\angle KBM=\angle KDA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD\text{.}$
2. $\angle KMB=\angle KAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM\text{.}$

Следовательно, $△BKM\sim △DKA$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Учитывая, что $BM=\frac{1}{2}AD\text{,}$ получаем:

Длина диагонали $BD$ складывается из длин отрезков $BK$ и $DK\text{:}$

По условию $BD=21\text{,}$ тогда:

Ответ: 7