Задача №09503

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180°\text{.}$ Поэтому внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ равны:

$$\angle A=\angle C=180°-150°=30°.$$

Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный с $BA=BC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведённая из вершины $B$ к основанию $AC\text{,}$ является одновременно медианой и высотой, то есть $BK\perp AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK\text{,}$ в котором $\angle AKB=90°\text{,}$ $\angle A=30°\text{,}$ а $AB=54$ — гипотенуза. Катет $BK$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому:

$$BK=AB\cdot \sin \angle A=54\cdot \sin 30°=54\cdot \frac{1}{2}=27.$$

Ответ: 27.