В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150°, AB = 54. Найдите длину биссектрисы BK.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°. Поэтому внутренние углы при вершинах A и C равны: A = C = 180° - 150° = 30°. Так как углы при основании AC равны, треугольник ABC равнобедренный с BA = BC. В равнобедренном треугольнике биссектриса BK, проведённая из вершины B к основанию AC, является одновременно медианой и высотой, то есть BK AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK, в котором AKB = 90°, A = 30°, а AB = 54 — гипотенуза. Катет BK лежит против угла A, поэтому: BK = AB * sin A = 54 * sin 30° = 54 * (1)/(2) = 27. Ответ: 27.

27