Задача №09501

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB=BC=25\text{,}$ а $AC$ — основание. Углы при основании равны, поэтому $\sin A=\sin C=\frac{3}{5}\text{.}$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $H$ — середина $AC\text{,}$ и треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при $H\text{.}$

Из треугольника $ABH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \sin A=25\cdot \frac{3}{5}=15.$$

Угол $A$ острый, поэтому $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\text{.}$ Тогда:

$$AH=AB\cdot \cos A=25\cdot \frac{4}{5}=20,AC=2\cdot AH=40.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 15=300.$$

Ответ: 300.