Задача №09499

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ — середина $AC\text{,}$ поэтому

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Высота $BH$ перпендикулярна $AC\text{,}$ значит треугольники $BHM$ и $BHC$ прямоугольные с общим катетом $BH\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$B{M}^2=B{H}^2+H{M}^2,B{C}^2=B{H}^2+H{C}^2.$$

По условию $BC=BM\text{,}$ поэтому $B{M}^2=B{C}^2\text{,}$ и тогда:

$$B{H}^2+H{M}^2=B{H}^2+H{C}^2\Rightarrow H{M}^2=H{C}^2\Rightarrow HM=HC.$$

Значит, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{.}$ Так как $MC=1\text{,}$ то

$$HM=HC=\frac{1}{2}=0,5.$$

Точки на стороне $AC$ расположены в порядке $A,M,H,C\text{,}$ поэтому:

$$AH=AM+MH=1+0,5=1,5.$$

Ответ: 1,5