Задача №09494 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 120^, а его меньшая диагональ равна 19. Найдите периметр ромба.

Пусть ABCD — данный ромб, а BD — его меньшая диагональ, равная 19. У ромба противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180^. Поскольку сумма двух углов ромба равна 120^, эти углы обязаны быть противоположными острыми углами. Обозначим величину острого угла ромба как alpha. Тогда: 2alpha = 120^ => alpha = 60^. Рассмотрим треугольник ABD, образованный двумя сторонами ромба AB, AD и его меньшей диагональю BD. Так как все стороны ромба равны (AB = AD), треугольник ABD — равнобедренный. Поскольку угол при вершине BAD = 60^, то треугольник ABD является равносторонним. Отсюда длина стороны ромба равна длине его меньшей диагонали: AB = BD = 19. Периметр ромба P равен произведению длины его стороны на 4: P = 4 * 19 = 76. Ответ: 76

76