Задача №09494

Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ а его меньшая диагональ равна 19. Найдите периметр ромба.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, а $BD$ — его меньшая диагональ, равная 19.

У ромба противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ эти углы обязаны быть противоположными острыми углами.

Обозначим величину острого угла ромба как $\alpha \text{.}$ Тогда:

Рассмотрим треугольник $ABD\text{,}$ образованный двумя сторонами ромба $AB\text{,}$ $AD$ и его меньшей диагональю $BD\text{.}$

Так как все стороны ромба равны ($AB=AD$), треугольник $ABD$ — равнобедренный. Поскольку угол при вершине $\angle BAD=60^{\circ }\text{,}$ то треугольник $ABD$ является равносторонним. Отсюда длина стороны ромба равна длине его меньшей диагонали:

Периметр ромба $P$ равен произведению длины его стороны на 4:

Ответ: 76